Integrações de funções escada

Resumo

No presente trabalho, o objetivo foi realizar um estudo crítico e introdutório sobre a noção de integral seguindo Lebesgue, pela análise da construção feita por Riesz. Num primeiro momento, apresentaram-se alguns conceitos básicos como a noção de “conjunto de medida nula”, a propriedade “quase sempre” e outros e, também, foram estudados os fundamentos da integral de Riemann. Na etapa seguinte, estudou-se a formulação do método de Riesz, considerando o espaço vetorial das funções escada, em que se definiu a noção de integral. Entre outros resultados importantes, foram demonstrados dois lemas fundamentais que são os alicerces do método utilizado. A partir daí, foi obtida a classe das sucessões crescentes de funções escada cujas integrais são limitadas, e, as quais, provou-se que são convergentes. Foi definido também uma coleção de funções limites de sucessões e estendeu-se a noção de integral a essas funções. Numa última etapa, por inclusão da diferença de seus elementos, a nova coleção obtida foi ampliada a fim de se obter uma extensão da noção de integral. Essa nova classe obtida é a classe das funções integráveis à Lebesgue e a integral definida na nova coleção é a integral da Lebesgue.